Dai campi sulle sponde del Nilo

Un percorso storico-narrativo di geometria come palestra di ragionamento per il biennio della scuola superiore.

Premessa metodologica

    Se sfogliamo le prime pagine di un qualsiasi libro di geometria, troviamo che essa trae la sua origine dall’esigenza pratica di ristabilire i confini dei campi dei contadini dopo le periodiche inondanzioni del Nilo; è quanto ci tramanda lo storico Erodoto. L’informazione si limita ad un semplice aneddoto; dopo di che si “gira pagina” e si inizia con teoremi, definizioni, anche con precisazioni pedanti (si dice “congruenti” e non “uguali”, ecc....) che recide i legami con questa motivazione iniziale. Da tempo abbiamo sperimentato un approccio costruttivo alla teoria, adottando l'ipotesi dello Zeuthen, secondo cui fu il desiderio di giustificare il teorema di Pitagora a condurre i geometri greci a costruire catene di proposizioni, risalendo alle più evidenti (i postulati, con un processo di analisi) per poi ridiscendere per deduzione al teorema di Pitagora (sintesi). In seguito, per aumentare il coinvolgimento degli studenti, abbiamo provato a sostenere il percorso con una componente narrativa, cioè a svolgere un compito in azione, in un contesto storico verosimile, identificandoci nei ruoli dei protagonisti, cioè nei personaggi coinvolti nella ridefinizione dei confini dei campi inondati dal Nilo; in particolare in un gruppo di contadini coi campi confinanti e in uno scriba, o notaio, che deve convincere con certezza e autorevolezza della bontà dei suoi metodi per mettere d’accordo gli interessi contrapposti dei contadini.

Gli agrimensori egizi erano chiamati "arpedonapti", annodatori di funi, essi compivano le operazioni concrete corrispondenti agli assiomi euclidei:
Riportando su carta, in scala, la situazione dei campi, usiamo gli strumenti più idonei, ma equivalenti, della riga e del compasso.

Sintesi del percorso

"Un contadino egiziano, Nilus, proprietario di un campo di forma quadrata, eredita alla morte del padre un altro campo, sempre di forma quadrata; con l'aiuto di uno scriba e di alcuni arpedonapti, desidera riunire i due appezzamenti, piuttosto distanti, in un unico campo, ancora di forma quadrata, che potrà coltivare più agevolmente. Se tu fossi lo scriba, che istruzioni daresti agli arpedonapti? Osservando il nuovo campo, Nilus non è convinto che la nuova superficie sia proprio la somma delle precedenti; in che modo cercheresti di convincerlo?"



Occorre riportare, con le funi, un quadrato con un lato adiacente all'altro, e applicare (figura 2) o scoprire (figura 3) il teorema di Pitagora.






Ma come si costruisce un quadrato? Perché si ottiene proprio un quadrato? Come si convince il contadino Nilus?

La costruzione del quadrato ripercorre
    La riproposizione del problema in laboratorio di informatica, con un opportuno software libero di geometria dinamica (Geogebra), collega in modo naturale l'argomento delle trasformazioni geometriche (isometrie): non avendo a disposizione un compasso per il trasporto dei segmenti, occorre esplicitare con quale trsformazione si colloca un dato segmento in una posizione voluta.



Bibliografia

M. Berni, L. d'Angelo “Da Pitagora agli assiomi”,  Insegnare, n.5, 1995;

M. Berni, "Dai campi sulle sponde del Nilo", Dossier Insegnare, n. 1, 2008.