A] Proposte elaborate dal gruppo di lavoro 'per cominciare' con le frazioni

1. Di che tipo sono i numeri decimali associati alle frazioni? Descrivili.
    Si prevede un utilizzo abbastanza libero del linguaggio. Utilizzando il programma Javascript allegato, gli allievi provano diversi casi e osservano le prime regolarità: i decimali vengono quasi sempre periodici, e in certi casi finiti.

2. Quando i numeri decimali vengono periodici e quando finiti? Controlla i dati in ingresso e scopri in che relazione sono con il tipo di risultato.
    Ci si aspettano delle ipotesi, e delle confutazioni. Non ci si aspettano dimostrazioni complete. Viene stimolato l'uso del linguaggio per verbalizzare le 'regole' ipotizzate.

3. Ma siamo proprio sicuri?
    Si mette in dubbio quanto ipotizzato proponendo esempi particolari, come 1/49 o 1/343 (si veda a questo proposito l'approfondimento disciplinare sulle frazioni). Gli allievi sono stimolati ad aumentare il numero delle cifre richieste per controllare la loro congettura (quella che venga un numero decimale sempre periodico); [notiamo che in questo momento noi facciamo delle congetture sulle loro risposte, e quindi interroghiamo, non osserviamo, la realtà]. Sono stimolati a trovare una ragione di quanto accade.

4. (Parte centrale) Ma il viceversa vale? Cioè, partendo da un numero finito o periodico, esiste sempre una frazione corrispondente?
    Si evita di chiamarla 'generatrice' per tenere lontano dalla mente la 'regola' meccanica, spesso già appresa. Prima o poi viene fuori, confusa. Bisogna cercare di lavorare sul fatto che è difficile ricordarla, che è facile confondersi, forse non vale la pena ricordarla; proviamo a ragionarci su...
    Un tentativo: 0,(3)=0,3+0,0(3), cioè 0,3 + 1/10 del numero stesso... cioè 0,(3) supera di 0,3 la sua decima parte... (frase tipica di molti 'problemi'...) vuol dire che i 9/10 di 0,(3) sono uguali al numero stesso privato del periodo... quindi, moltiplicando 0,3 per 10/9 si ottiene il numero periodico... scritto in una forma in cui il periodo non c'è più; e 0,3 corrisponde a una frazione? (Propedeutico).
    L'attività così impostata ricorda molto il lavorare con una 'cosa', una 'x' se vogliamo. E' come un'equazione; è un po' più astratta di un'equazione, perché non si cerca un 'valore' (infatti 0,(3) è già dato), ma una 'forma' voluta.

Affrontare queste domande costituisce già un percorso completo sull'argomento; altri quesiti individuati dal Gruppo di lavoro, da utilizzarsi anche per un'eventuale prova d'ingresso, sono i seguenti:

5. Trovare l'n-esima cifra decimale del numero corrispondente a una frazione data
    Per esempio, la centesima cifra di 1/7=0,(142857); poiché il periodo di 1/7 ha lunghezza 6, dopo 96 cifre si ripete il periodo: dunque la centesima cifra è uguale alla quarta, cioè 8.

6. Qual è la frazione ridotta associata a 0,(9) ?
    La non univocità della scrittura decimale di un numero è un argomento che lascia dubbi perfino negli adulti esperti, come risulta da alcuni questionari rivolti a laureati in materie scientifiche; piuttosto che 'imporre' una soluzione, è probabilmente più utile una discussione in classe.

7. Calcola l'espressione: (0,(142857)+0,(2(142857))x(9,(3)-0,8(3)-0,(27))x0,(285714).
    Quando è stato proposto questo esercizio, molti alunni sono passati spontaneamente alla forma frazionaria, riconoscendone l'utilità.

8. La calcolatrice ha sempre ragione? Calcolare (1/7)x8-1; che cosa succede iterando il procedimento? Perché?
    A causa di una propagazione degli errori di approssimazione nei passi successivi, la calcolatrice dopo un certo numero di passaggi fornisce risultati divergenti, e quindi palesemente errati. Una utile discussione sulla differenza tra calcolo esatto e approssimato.

9. (Domanda 4 del MAT2003):  Data una frazione ridotta, come si determina il numero di cifre della parte decimale che precede il periodo (antiperiodo) nel numero decimale corrispondente?    
    Un modo per 'testare' se e quanto i ragazzi sono coinvolti nel gioco e disposti a fare propri dei problemi ormai molto specifici.

    Abbiamo strutturato questa proposta di attività in varie fasi, lasciando aperte alcune possibilità in merito ad approfondimenti ed obiettivi possibili; ad esempio, nella fase 2 è prevista la costruzione del Tangram. A seconda degli strumenti utilizzati, l'attività può essere semplice, quasi ludica (come con la piegatura della carta), oppure gradatamente più difficile, e con obiettivi più specifici di tipo geometrico (ad es. con software dinamico opportunamente calibrato nel menù), oppure può aprire la possibilità di un percorso completo di geometria euclidea: basta porsi il problema di costruire un quadrato con riga e compasso, e chiedersi perché il quadrilatero ottenuto è proprio un quadrato, e si ricostruisce molta della geometria assoluta, fino al teorema delle parallele. Per ogni fase abbiamo indicato le competenze sollecitate nella sua realizzazione (non quelle in uscita, ma quelle attivate per affrontare l'attività).

Competenze sollecitate: questa consegna richiede ed esercita la capacità di servirsi del linguaggio matematico finalizzata ad uno scopo operativo e la coordinazione oculo-manuale per l'esecuzione del compito.

Fase 2: Tagliare i singoli pezzi del Tangram e riconoscere quale frazione dell'intero ogni pezzo rappresenta; lavorare per equivalenza sia in senso numerico (frazioni equivalenti) sia in senso geometrico (equivalenza di superfici); ordinare in entrambi i significati (riconoscere che la 'contenenza' è condizione sufficiente ma non necessaria per l'ordinamento dell'estensione). Spingersi anche in problemi di calcoli di perimetri (fissando un'unità di misura) e confrontare l'isoperimetria con l'equiestesione.

Competenze sollecitate: saper riconoscere rapporti geometrici; saper classificare ed ordinare rispetto ad un criterio dato.

Fase 3: (eventuale) una proposta nell'ottica del Cooperative Learning: costruire puzzle in gruppo;  i pezzi vengono suddivisi tra i componenti del gruppo e ognuno può toccare solo i suoi; gli elementi del gruppo possono tuttavia comunicare per suggerire come sistemare i pezzi. Per i puzzle esiste un software scaricabile liberamente che permette di costruire figure, coi pezzi del tangram, a tre livelli di difficoltà.

Competenze sollecitate: saper lavorare in squadra rispettando regole e ruoli. Competenza comunicativa e relazionale, assunta esercitando atteggiamenti cooperativi e non competitivi (vedi "Cooperative Learning").

    Una parte degli Elementi di Euclide, meno conosciuta del celeberrimo primo libro, riguarda l'aritmetica (libro VII), e il legame di questa con la teoria delle grandezze (libro V). Contrariamente a quanto certi pregiudizi potrebbero far credere, è proprio questo approccio antico quello che meglio si presta ad una visione algoritmica e costruttiva dell'aritmetica, adatta anche per l'elaborazione al computer. Il massimo comun divisore tra due numeri non viene introdotto tramite la fattorizzazione, come di consueto, ma con un algoritmo, detto appunto euclideo, che si basa sulle divisioni successive. Euclide si serve dello stesso algoritmo per definire i rapporti tra grandezze (e quindi la misura di una grandezza rispetto ad un'altra, presa come unità), estendendolo dal caso commensurabile a quello incommensurabile. Il percorso nella sua interezza è adatto ad una fase di revisione critica dell'aritmetica (triennio liceale), ma le prime attività, che proponiamo, sono stimolanti, non difficili, e legate a molta parte della matematica, in particolare dell'algebra, anche moderna. Abbiamo segnalato come opzionali quelle attività che più si avvicinano alla visione 'superiore' dell'intero argomento.

Fase 1 - Esplorazione: Dare coppie di numeri e assegnare il compito seguente: togliendo successivamente il minore dal maggiore che cosa si ottiene? Provando con molte coppie, scelte a caso dai ragazzi singolamente o per gruppi, si giunge a congetturare che si ottenga il Massimo Comun Divisore; sarà vero? E se è vero, perché?

    Non è possibile (nel senso che è molto improbabile) che si giunga ad una dimostrazione della congettura; tuttavia le discussioni alimentano la necessità di approfondire.

Fase 2 - Formalizzazione: Analizzare che cosa succede all'insieme dei divisori comuni sostituendo la coppia (a;b), con a>b, la coppia (a-b; b).  Perché avviene questo?

    Gli studenti si accorgono che l'insieme dei divisori comuni non cambia, per esempio rappresentando gli insiemi dei divisori di a e di b, e considerando la loro intersezione; si possono utilizzare diagrammi di Venn o rappresentazioni per elencazione. Ma parché avviene questo?
    Senza entrare in formalismi inutilmente complicati, al 'cuore' del funzionamento dell'algoritmo euclideo c'è solo la proprietà distributiva, in questo caso della moltiplicazione rispetto alla sottrazione. Indichiamo con la notazione "x|y" le locuzioni equivalenti

    Dimostriamo che l'insieme dei divisori comuni della coppia (a;b), con a>b, è lo stesso della coppia (a-b; b); infatti, se d|a e d|b, allora (per la distributiva della moltiplicazione rispetto alla sottrazione) d|a-b; viceversa, se d|a-b e d|b, allora (per la distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione) d|a-b+b, cioè d|a.

Fase 3 - Applicazione dell'algoritmo: velocizzare l'algoritmo delle sottrazioni successive con le divisoni successive (algoritmo euclideo) e applicarlo a numeri "grandi".

     Si 'riscopre' il significato di divisione con resto come 'sottrazione ripetuta finché si può'; a questo punto diviene opportuno l'utilizzo della calclatrice; è un utilizzo non banale; per esempio, per calcolare il MCD tra 10767 e 5322, occorre riconoscere il quoziente intero, che in questo caso è 2, e, applicando la definizione, calcolare il resto della divisione: 10767-2x5322=123; ma

MCD(10767;5322)=MCD(5322;123);
..........................................

    Gli studenti possono apprezzare la potenzialità e l'efficacia dell'algoritmo, con cui si possono trattare coppie di numeri ben più alte di quelle con cui si ha in genere a che fare con il metodo (decisamente inefficiente) della fattorizzazione.


Fase 3 - Esplorazione: Che cosa succede applicando la procedura delle sottrazioni successive ad una coppia di frazioni?

    Senza ricercare una formalizzazione completa, si scopre che si ottiene sempre una frazione che ha al numeratore il MCD dei numeratori e al denominatore il mcm dei denominatori. Le due frazioni risultano multipli interi primi tra loro della frazione trovata. L'esperienza ha un profondo significato geometrico: se due grandezze sono commensurabili, l'algoritmo euclideo individua la massima grandezza che 'misura' le prime due, nel senso euclideo; si trova cioè la massima grandezza sottomultipla comune delle due grandezze date. Nel caso dei numeri interi, c'è comunque una grandezza unica che le misura tutte: è l'unità.

Fase 3bis (opzionale) - Rivisitazione del concetto intuitivo di grandezza acquisito nella scuola media. Che cosa è una classe di grandezze; che cosa è il rapporto tra due grandezze e la misura di una grandezza; possibilità di calcolare una misura con l'algoritmo di Euclide (per le grandezze commensurabili).

    L'argomento delle grandezze viene generalmente proposto (quando non viene 'saltato' a pié pari) all'inizio del secondo anno del biennio; si tratta di un capitolo spesso difficile, anche per l'insegnante, in quanto il linguaggio proposto nei testi è generalmente in bilico tra quello antico di Euclide e quello moderno di Hilbert, per giungere al concetto di numero reale, quello moderno, formalizzato solo alla fine dell'800. D'altra parte, ci sono approcci che prevedono l'introduzione dei numeri reali (in senso inutitivo) fin dal primo anno. In questo senso abbiamo pensato a questa fase dell'attività come opzionale per il primo anno. Seguire il linguaggio euclideo, senza pretenderne il rigore, restituisce coerenza e chiarezza all'argomento, e, ricalcando il loro ordine storico, aiuta a comprendere gli sviluppi successivi.

    Le grandezze per Euclide sono semplicemente oggetti che si possono confrontare e sommare, indipendentemente dalla loro natura; in questo riconosciamo nell'Autore una visione della matematica molto vicina a quella moderna, di tipo strutturale. E se, date due grandezze A e B, risulta A>B, allora postuliamo che esista una grandezza C, che chiameremo A-B, tale che  B+C=A.  Ma quante volte dovremo sommare la grandezza B per raggiungere A? Forse tante... l'importante è che siano in numero finito, cioè che esista un numero intero n tale che nB>A (Assioma di Archimede); è questo che permette la 'divisione euclidea' tra grandezze e quindi la possibilità di parlare di rapporto, definendolo tramite l'algoritmo euclideo; l'algoritmo euclideo infatti nel caso di grandezze incommensurabili fornisce la massima grandezza sottomultipla comune D, tale che A=mD e B=nD, cosicché vale la proporzione A:B=m:n, cioè il numero razionale m/n è il rapporto tra A e B, ovvero la misura di A rispetto a B. Per il caso incommensurabile è utile l'attività seguente, che può essere proposta anche indipendentemente da questa formalizzazione.

Fase 4 - Esplorazione: Che cosa succede applicando la procedura delle sottrazioni successive a  e 1?

    Senza pretendere una formalizzazione completa, si scopre che il procedimento non ha termine, ma che si ottengono numeri via via più piccoli, espressi come combinazioni lineari, a coefficienti interi discordi via via più grandi, di e di 1; il rapporto tra i coefficienti interi delle combinazioni lineari ottenute fornisce un'approssimazione via via migliore di ; la successione dei numeri che si ottengono dalle sottrazioni successive rappresenta lo 'scarto' tra il valore di e le sue approssimazioni razionali. 

Fase 4bis (opzionale) - Formalizzazione mediante interpretazione geometrica; il procedimento delle sottrazioni successive corrisponde ad una costruzione geometrica che si autoriproduce, pertanto non ha termine. Grandezze incommensurabili.

Il numero 1 è rappresentato dal lato del quadrato, il numero dalla sua diagonale. Per fissare le idee, scegliamo i segmenti BC e BD.	Si riporta col compasso BC su BD, individuando BE=BC. Sottrarre 1 a corrisponde a individuare il segmento DE=BD-BE.	Dal punto E si traccia la perpendicolare a BD, che incontra in F il lato CD. EF ed FC sono tangenti all'arco di circonferenza e passano entrambi per F, dunque EF=FC. D'altra parte il triangolo DEF è isoscele, quindi DE=EF; in definitiva: DE=EF=FC. Dunque DF=DC-CF rappresenta la differenza dei numeri 1 e . Ma DF è la diagonale del quadrato di lato ED; dunque, geometricamente, siamo tornati al caso di partenza e possiamo ripetere indefinitamente i tre passaggi.
Prima coppia di numeri: e 1.	Seconda coppia di numeri: 1 e	Terza coppia di numeri: e; sono di nuovo due numeri di rapporto

    Si può porre in discussione la dimostrazione classica, con o senza ragionamento per assurdo; si può decidere se rendere più o meno esplicito l'utilizzo (che viene effettivamente fatto) del teorema fondamentale dell'aritmetica. In particolare, discutere in classe perché è impossibile l'uguaglianza tra numeri interi

    L'esistenza di una scomposizione di fattori primi può essere data per scontata, così come lo era per Euclide (la dimostrazione sarebbe troppo formale); basta far osservare, con dei diagrammi ad albero, che la definizione di numero composto comporta una diramazione in due fattori, e così via... e che i numeri diventano via via più piccoli. Per l'unicità, i diversi diagrammi ad albero costruiti dai ragazzi mostrano l'unicità del risultato finale. E' assai sconsigliabile la scomposizione mediante lo schema della linea verticale e l'applicazione dei criteri di divisibilità ai possibili fattori primi in ordine crescente, proprio perché così non viene messa in luce l'unicità della scomposizione. L'unicità può essere parzialmente formalizzata grazie al lemma seguente:

di facile dimostrazione con l'uso di frazioni: se p|ab, allora esiste d tale che pd=ab, quindi vale l'uguaglianza di frazioni p/a=b/d. Se p|a non c'è niente da dimostrare; se p non divide a, allora la frazione p/a è ridotta ai minimi termini, quindi b e d sono multipli, rispettivamente, di p ed a.

Fase 5ter (opzionale) - Le equazioni diofantee. Problema: "Sarebbe possibile introdurre un sistema monetario basato soltanto su tagli di 3 e 5? Più specificatamente, quali valori si otterrebbero su questa base? Sarebbe desiderabile un tale sistema, se fosse possibile?" 

Si tratta di un problema tratto dalla pubblicazione [P], relativa allo studio OCSE-PISA sulla valutazione dei quindicenni nei paesi dell'OCSE. Il problema, che si trova alla pagina 37 della pubblicazione, viene commentato nel modo seguente: "è un buon problema, non tanto per la sua vicinanza al mondo reale, quanto per il fatto che è interessante dal punto di vista matematico"; prosegue: "Il ricorso
alla matematica per spiegare scenari ipotetici ed esplorare sistemi o situazioni alternativi, anche se improbabili, è una delle caratteristiche più importanti di tale disciplina." In effetti introduce in modo estremamente semplice ad un fatto aritmetico molto importante: la risolubilità sugli interi delle equazioni diofantee, di cui non è necessaria alcuna formalizzazione, ma la cui esplorazione è motivante e formativa, e fa appprezzare la matematica. E' interessante notare come i ragazzi, discutendo tra loro, difficilmente trovino la soluzione più semplice: dando due monete da tre e ricevendo una moneta da cinque di resto, si può 'scambiare' il valore unitario, quindi tutti i valori interi. Ma è anche interessante, proprio da queste risposte, apprezzare il fatto che le soluzioni per 'scambiare' il valore unitario sono infinite, e le coppie, rappresentate sul piano cartesiano, danno luogo a punti tutti allineati...

    Riproporre il problema, cambiando i tagli delle monete,  permette di rendersi conto senza una eccessiva formalizzazione che il problema è risolubile solo prendendo coppie di numeri primi tra loro. E' facile dimostrare la non risolubilità nel caso contrario, con la proprietà distributiva, ma non la risolubilità nel caso dei numeri primi tra loro, che però può essere sperimentata in molti casi.